Các Công Thức Biến Đổi Căn Thức Đặc Biệt và Bài Tập Vận Dụng

Chào các bạn! Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau ôn lại các công thức biến đổi căn thức bậc hai và áp dụng chúng để giải các bài tập. Việc giải nhiều bài tập sẽ giúp chúng ta hiểu rõ hơn và nhớ lâu hơn các công thức, từ đó cải thiện kỹ năng giải toán của mình.

Các Công Thức Biến Đổi Căn Thức Bậc Hai

Trước tiên, hãy nhớ công thức biến đổi căn thức bậc hai sau đây (với A≥0 và B≥0):

  • √A^2 = A
  • √A.B = √A . √B
  • √(A^2 + B^2) = √(A + B) . √(A – B)
  • √((A + B)^2) = A + B
  • √((A – B)^2) = A – B
  • √(AB) = √A . √B (với AB ≥ 0 và B ≠ 0)
  • √(A^2 + 2AB + B^2) = A + B
  • √(A^2 – 2AB + B^2) = A – B (với A ≥ 0 và A ≠ B^2)
  • √(A^2 + 2AB + B^2) = A + B (với A ≥ 0; B ≥ 0 và A ≠ B)
  • √(A^2 – 2AB + B^2) = A – B (với A ≥ 0; B ≥ 0 và A ≠ B)

Chú ý rằng các biểu thức trong căn bậc hai phải không âm. Hãy nhớ các điều kiện kèm theo mỗi công thức để tránh sai sót trong quá trình biến đổi.

Bài Tập Vận Dụng Công Thức

Giờ hãy áp dụng các công thức vào các bài tập sau đây:

Bài 70 trang 40 SGK Toán 9 Tập 1

Tìm giá trị của các biểu thức sau bằng cách biến đổi và rút gọn thích hợp:

  • (√2 + 1)²
  • (√5 – 1)²

Lời giải:

  • Ta có thể biến đổi như sau:

(√2 + 1)² = (√2 + 1) . (√2 + 1) = 2 + 2√2 + 1 = 3 + 2√2

  • Tương tự, ta có:

(√5 – 1)² = (√5 – 1) . (√5 – 1) = 5 – 2√5 + 1 = 6 – 2√5

Bài 71 trang 40 SGK Toán 9 Tập 1

Rút gọn các biểu thức sau:

  • √(40 + 12√5)
  • √(48 – 20√3)

Lời giải:

  • Ta có:

√(40 + 12√5) = √(4 . 10 + 2 . 2 . √5 . √10 + (2√5)²) = 2 + 2√5

  • Tương tự, ta có:

√(48 – 20√3) = √(4 . 12 – 2 . 2 . √3 . √12 + (2√3)²) = 4 – 2√3

Bài 73 trang 40 SGK Toán 9 Tập 1

Rút gọn và tính giá trị của các biểu thức sau:

  • √(81 – 18a + a²)
  • √(m^2 + 2m + 1)
  • √(25/n^2)

Lời giải:

  • Tại a = -9, ta có:

√(81 – 18a + a²) = √(81 + 162 + 81) = √324 = 18

  • Tại m = 1.5, ta có:

√(m^2 + 2m + 1) = √(2.25 + 3 + 1) = √6.25 = 2.5

  • Tại n = 5, ta có:

√(25/n^2) = √(25/25) = √1 = 1

Bài 74 trang 40 SGK Toán 9 Tập 1

Tìm giá trị của x, biết:

(√(2x – 1))^2 = 3

Lời giải:

(*) Nếu 2x – 1 ≥ 0 ⇒ x ≥ 1/2, ta có:

(√(2x – 1))^2 = (2x – 1) = 3 ⇔ 2x = 4 ⇔ x = 2 (với x ≥ 1/2).

Nếu 2x – 1 < 0 ⇒ x < 1/2, ta có:

(√(2x – 1))^2 = (-(2x – 1)) = 1 – 2x = 3 ⇔ 2x = -2 ⇔ x = -1 (với x < 1/2).

→ Vậy phương trình có 2 nghiệm: x = 2 và x = -1

(*) Điều kiện: x ≥ 0.

(Bình phương 2 vế của phương trình)

Bài 76 trang 41 SGK Toán 9 Tập 1

Cho biểu thức Q = √(a + b) – √(a – b) (với a > b > 0).

a) Rút gọn Q.
b) Xác định giá trị của Q khi a = 3b.

Lời giải:

a) Rút gọn Q:

Q = √(a + b) – √(a – b) = (√(a + b) – √(a – b))(√(a + b) + √(a – b))/(√(a + b) + √(a – b)) = (a + b – (a – b))/(√(a + b) + √(a – b)) = 2b/(√(a + b) + √(a – b))

Lưu ý: Ở phép biến đổi trên, do giả thiết a > b > 0, nên a – b > 0 mới có thể viết a + b – (a – b) = 2b.

b) Thay a = 3b vào ta được:

Q = 2b/(√(3b + b) + √(3b – b)) = 2b/(2√2b) = √2

Đó là các công thức biến đổi căn thức và bài tập vận dụng căn thức bậc hai mà chúng ta cần nhớ. Hy vọng các bạn đã hiểu và có thể áp dụng thành công vào giải bài tập. Đừng quên truy cập SVVN để tìm hiểu thêm nhiều kiến thức bổ ích khác nhé!