[TOP] Các cách chứng minh tam giác vuông đơn giản cho học sinh

Tam giác vuông là một khái niệm quen thuộc trong hình học. Nhưng bạn đã biết rằng có những trường hợp đặc biệt khi hai tam giác vuông có thể được coi là bằng nhau? Trong bài viết này, chúng tôi sẽ giới thiệu các cách chứng minh tam giác vuông để giúp bạn học sinh hiểu rõ hơn về tam giác vuông và tam giác bằng nhau.

1. Hai Tam Giác Bằng Nhau Là Gì?

Hai tam giác được coi là bằng nhau khi các cạnh tương ứng bằng nhau và các góc tương ứng cũng bằng nhau. Đơn giản hơn, để biểu diễn sự bằng nhau của tam giác ABC và tam giác DFE, chúng ta có thể sử dụng kí hiệu ΔABC = ΔDFE.

Hai tam giác bằng nhau

2. Các cách chứng minh tam giác vuông bằng nhau

Tam giác vuông có một góc vuông đặc biệt. Điều này dẫn đến việc chỉ cần hai tam giác vuông có thêm hai điểm chung nữa thì chúng có thể được coi là bằng nhau. Dưới đây là các trường hợp đặc biệt của tam giác vuông mà chúng tôi muốn giới thiệu:

2.1 Hai Cạnh Góc Vuông

Hai tam giác vuông được coi là bằng nhau khi hai cạnh liền kề góc vuông của tam giác này lần lượt bằng hai cạnh liền kề góc vuông của tam giác vuông kia. Đây là trường hợp “cạnh – góc – cạnh”.

2.2 Cạnh Góc Vuông và Góc Nhọn Liền Kề Cạnh Đó

Hai tam giác vuông được coi là bằng nhau nếu một cạnh góc vuông và một góc nhọn kề bên cạnh đó của tam giác vuông này bằng một cạnh góc vuông và một góc nhọn kề bên cạnh đó của tam giác vuông kia. Đây là trường hợp “góc – cạnh – góc”.

2.3 Cạnh Huyền, Góc Nhọn

Hai tam giác vuông được coi là bằng nhau nếu một góc nhọn và cạnh huyền của tam giác vuông này bằng một góc nhọn và cạnh huyền của tam giác vuông kia. Đây là trường hợp “góc – cạnh – góc”.

Hai tam giác vuông bằng nhau theo cạnh huyền và góc nhọn

2.4 Cạnh Huyền và Cạnh Góc Vuông

Hai tam giác vuông được coi là bằng nhau nếu một cạnh của góc vuông và cạnh huyền của tam giác vuông này bằng một cạnh của góc vuông và cạnh huyền của tam giác vuông kia.

Hai tam giác vuông bằng nhau theo cạnh huyền và cạnh góc vuông

3. Các Dạng Bài Về Các Trường Hợp Bằng Nhau Của Tam Giác Vuông

Trên đây là những trường hợp đặc biệt của tam giác vuông mà chúng tôi đã giới thiệu. Để nắm rõ hơn về những khái niệm này, chúng ta sẽ cùng xem qua các ví dụ sau đây:

Dạng 1: Chứng Minh Các Tam Giác Vuông Bằng Nhau

Ở dạng này, chúng ta sẽ xét hai tam giác vuông, sau đó kiểm tra các điều kiện để chúng bằng nhau: cạnh – góc – cạnh, góc – cạnh – góc, cạnh huyền – góc nhọn hoặc cạnh huyền – cạnh góc vuông. Từ đó, xác định xem hai tam giác đó bằng nhau theo trường hợp nào và rút ra kết luận.

Dạng 2: Chứng Minh Góc Và Đoạn Thẳng Bằng Nhau

Với dạng bài này, chúng ta sẽ áp dụng những kiến thức về các trường hợp bằng nhau của hai tam giác vuông. Từ đó, chúng ta có thể chứng minh rằng nếu hai tam giác bằng nhau, thì các đoạn thẳng và các góc cũng bằng nhau.

Dạng 3: Tìm Thêm Các Điều Kiện Để Hai Tam Giác Vuông Bằng Nhau

Với dạng bài này, trước tiên bạn cần đọc kỹ đề bài và vẽ hình để xem hai tam giác vuông đã có những yếu tố nào được coi là bằng nhau. Từ đó, bạn tính toán thêm để xác định cần phải bổ sung thêm điều kiện nào để hai tam giác vuông đó có thể bằng nhau.

4. Giải Một Số Ví Dụ Minh Họa Các Trường Hợp Bằng Nhau Của Tam Giác

Ví dụ 1: Cho tam giác MNP cân tại M. Kẻ MH vuông góc với NP. Chứng minh:
a) HN = HP
b) góc NMH = góc PMH

Trả lời:
a) Xét hai tam giác vuông ΔMNH và ΔMPH ta có: MN = MP theo giả thiết và AH là cạnh chung. Suy ra: ΔMNH = ΔMPH theo trường hợp cạnh huyền – cạnh góc vuông.
Suy ra: HN = HP (cặp cạnh tương ứng)

b) Ta có: Hai tam giác ΔMNH = ΔMPH (chứng minh trên). Vậy nên sẽ có góc NMH = góc PMH

Ví dụ 2: Các tam giác vuông ABC và MNP có góc A và góc M bằng nhau và bằng 90 độ, AC = MP. Hãy thêm một điều kiện để hai tam giác ΔABC = ΔMNP.

Bài giải:
Nếu thêm AB =MN thì ta sẽ có hai tam giác ΔABC = ΔMNP theo trường hợp cạnh – góc – cạnh.
Nếu thêm góc C = góc P thì ta sẽ có hai tam giác ΔABC và ΔMNP bằng nhau theo trường hợp góc – cạnh – góc.
Còn khi thêm BC = NP thì ta sẽ có ΔABC = ΔMNP theo trường hợp cạnh huyền – cạnh góc vuông.

Ví dụ 3: Cho tam giác DEF cân tại điểm D, góc D nhỏ hơn 90o. Vẽ EK ⊥ DF (K ∈ DF), CH ⊥ DE (H ∈ DE).
a) Chứng minh rằng DK = KH
b) Gọi M là giao điểm của EK và CH. Chứng minh rằng đoạn thẳng DM chính là tia phân giác của góc D

Bài giải
a) Giả thiết ΔDEF cân tại D thì có DE = DF. Xét hai tam giác vuông KDE và HDF, ta có:
DE = DF (chứng minh trên), góc D chung.
⇒ ΔKDE = ΔHDF theo (cạnh huyền – góc nhọn)
⇒ DK = DH (cặp cạnh tương ứng)

b) Xét hai tam giác vuông HDM và KDM, ta có:
DK = DH (chứng minh trên), DM là cạnh chung của hai tam giác. Từ đó, suy ra ΔKDM = ΔHDM (cạnh huyền – cạnh góc vuông) và cặp góc tương ứng là góc KDM = góc HDM. Vậy tia DM chính là tia phân giác của góc D.

5. Tổng Hợp Các Dạng Bài Tập Tam Giác Vuông Bằng Nhau

Dưới đây là tổng hợp các dạng bài tập lý thuyết và thực hành về các trường hợp bằng nhau của tam giác vuông.

5.1 Bài Tập Lý Thuyết

Bài 1: Hãy nêu các trường hợp bằng nhau của tam giác vuông? Vẽ hình minh họa cho từng trường hợp?

Bài 2: Phát biểu định lý hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng? Nêu giả thiết, kết luận? Vẽ hình minh họa.

Bài 3: Nêu khái niệm hai tam giác bằng nhau? Vẽ hình minh.

5.2 Bài Tập Thực Hành

Bài 1: Cho tam giác ABC và tam giác DEF biết góc A = góc D = 90°, góc C = góc F. Cần bổ sung thêm điều kiện gì để hai tam giác ABC và tam giác DEF bằng nhau theo trường hợp cạnh góc vuông – góc nhọn kề?
A. AC = DF
B. AB = DE
C. BC = EF
D. AC = DE

Bài 2: Cho tam giác ABC và tam giác DEF có góc B và góc E bằng nhau và bằng 90°, AC = DF, góc A = góc F. Hãy tìm phát biểu đúng trong những phát biểu sau đây?
A. ΔABC = ΔFED
B. ΔABC = ΔFDE
C. ΔBAC = ΔFED
D. ΔABC = ΔDEF

Bài 3: Cho tam giác ABC, kẻ BE và CD lần lượt là đường cao vuông góc với các cạnh AC, AB. Chứng minh rằng hai tam giác BCD và CBE bằng nhau, biết BD = EC.

Bài 4: Cho tam giác ACD cân tại A. Từ đỉnh A kẻ AH vuông góc với CD, H thuộc CD. Chứng minh rằng: HB = HC và AH là tia phân giác của góc BAC.

Bài 5: Cho hai tam giác ABC và DEF lần lượt vuông tại A và D, biết AB = DE.
a) Để hai tam giác trên có thể bằng nhau theo trường hợp cạnh góc vuông và góc nhọn kề, cần thêm điều kiện gì?
b) Để hai tam giác trên có thể bằng nhau theo trường hợp cạnh huyền và góc nhọn kề, cần thêm điều kiện gì?

Hy vọng với những kiến thức và bài tập chúng tôi đã cung cấp, việc học và làm bài tập toán về các cách chứng minh tam giác vuông sẽ trở nên dễ dàng hơn đối với bạn.

Nguồn: https://svvn.com.vn/