Tam giác vuông cân: Định nghĩa và cách chứng minh

Tam giác vuông cân không chỉ là một trong những khái niệm quan trọng trong hình học mà còn phổ biến cả trong sách vở và cuộc sống hàng ngày. Vậy tam giác vuông cân là gì và các cách chứng minh tam giác vuông cân như thế nào? Hãy cùng nhau khám phá trong bài viết này của SVVN nhé!

1. Tam giác vuông cân là gì

Tam giác vuông cân là tam giác có cả hai góc vuông và hai cạnh góc vuông bằng nhau. Nếu chúng ta có tam giác ABC vuông cân tại góc A với AB và AC là hai cạnh góc vuông, ta có:

  • AB ⊥ AC
  • AB = AC

Tính chất 1: Hai góc nhọn ở đáy của tam giác vuông cân bằng nhau và đều bằng 45 độ.

Tính chất 2: Các đường trung tuyến, đường phân giác và đường cao được kẻ từ đỉnh của góc vuông tam giác vuông cân sẽ trùng nhau và có độ dài bằng một nửa cạnh huyền.

Ví dụ: Ta có tam giác ABC vuông cân tại A. Chọn D là trung điểm của BC. Như vậy, AD vừa là đường phân giác, vừa là đường cao, vừa là đường trung tuyến của BC. Đồng thời, BD = DC = AD = 1/2 BC.

2. Cách chứng minh tam giác vuông cân

Từ định nghĩa của tam giác vuông cân, chúng ta có thể chứng minh tam giác vuông cân theo các cách sau:

  • Tam giác có một góc vuông và hai cạnh góc vuông bằng nhau là tam giác vuông cân.
  • Tam giác vuông có một góc nhọn tại 45 độ.
  • Tam giác có hai cạnh bằng nhau và một góc đáy bằng 45 độ.

cách chứng minh tam giác vuông cân

Ví dụ: Tam giác vuông cân tại A có cạnh góc vuông là a.

3. Một số bài tập

Trước khi giải các bài tập liên quan đến tam giác vuông cân, hãy tham khảo một số dạng bài cơ bản và phổ biến sau:

Dạng 1: Nhận biết một tam giác cho trước là tam giác cân, tam giác đều hoặc tam giác vuông cân.

Cách giải: Dựa trên dấu hiệu nhận biết hoặc chứng minh từng loại tam giác. Hãy phán đoán để tìm cách giải nhanh nhất.

Dạng 2: Chứng minh các tính chất của tam giác như độ dài cạnh, đo góc, sự bằng nhau của tam giác, v.v…

Cách giải: Dựa trên kiến thức về tính chất của tam giác cùng với dữ liệu cho trước có thể tìm ra đáp án.

Ví dụ bài 1: Vẽ một tam giác vuông cân.

Đáp án: Giả sử cần vẽ tam giác ABC vuông cân tại A.

  • Vẽ góc vuông xAy trên hệ trục xAy.
  • Trên tia Ay, lấy điểm C. Trên tia Ax, lấy điểm B sao cho AC = AB.
  • Nối điểm B với điểm C.
  • Như vậy, ta có tam giác ABC vuông cân tại A.

Ví dụ bài 2: Cho tam giác ABC cân tại A (Â < 90º). Vẽ CK ⊥ AB (K ∈ AB) và BH ⊥ AC (H ∈ AC).

a) Chứng minh: AH = AK.
b) Gọi I là giao điểm của CK và BH. Chứng minh: AI chính là tia phân giác của góc A.

Đáp án:

  • ΔACk = ΔABH ⇒ AK = AH.
  • ΔAIK = ΔAIH (cạnh huyền – cạnh góc vuông) ⇒ IÂK = IÂH ⇒ AI là tia phân giác từ góc A.

Ví dụ bài 3: Tam giác ABC có đường cao BE và CF cắt nhau tại O, biết AB = OC.

a) Chứng minh: tam giác OEC = tam giác AEB.
b) Tính số đo góc ACB.

Đáp án:
a) Xét ΔOEC và ΔAEB.
Ta có góc ^AEB = ^BEC = 90 độ.
Theo giả thiết: AB = OC.
Góc ^ABE = ^ECO (vì cùng phụ với góc A).
Vậy, ΔOEC = ΔAEB (c.g.c).

b) Vì tam giác ECB vuông cân tại E, nên góc ^ACB = 45 độ.

Dưới đây là các cách chứng minh tam giác vuông cân chính xác nhất hiện nay. SVVN hy vọng sẽ giúp bạn nắm vững kiến thức này và áp dụng dễ dàng vào bài tập và cuộc sống hàng ngày.