Phép toán tập hợp: Cách thực hiện và bài tập

Chào các bạn! Hôm nay chúng ta sẽ cùng tìm hiểu về phép toán tập hợp trong môn Toán lớp 10. Đây là một chủ đề rất quan trọng và đặc biệt có ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau. Hãy cùng tôi khám phá nhé!

1. Lý thuyết các phép toán tập hợp

1.1. Phép hợp (A∪B)

Phép hợp của hai tập hợp A và B là tập hợp bao gồm tất cả các phần tử thuộc A hoặc thuộc B. Ký hiệu là A∪B.

Ví dụ: Cho tập A={2;3;4}, B={1;2}, thì A∪B={1;2;3;4}.

1.2. Phép giao (A∩B)

Phép giao của hai tập hợp A và B là tập hợp bao gồm tất cả các phần tử thuộc cả A và B. Ký hiệu là A∩B.

Ví dụ: Cho tập A={2;3;4}, B={1;2}, thì A∩B={2}.

1.3. Phép hiệu (A∖B)

Phép hiệu của hai tập hợp A và B là tập hợp tất cả các phần tử thuộc A nhưng không thuộc B. Ký hiệu là A∖B.

Ví dụ: Cho tập A={2;3;4}, B={1;2}, thì A∖B={3;4}.

1.4. Phần bù (CXA)

Phần bù của tập hợp A trong tập X là tập hợp các phần tử của X mà không là phần tử của A. Ký hiệu là X∖A.

Ví dụ: Cho tập A={2;3;4}, B={1;2}, thì CAB=A∖B={3;4}.

2. Một số bài tập về các phép toán tập hợp và phương pháp giải

Dưới đây là một số bài tập về các phép toán tập hợp và phương pháp giải chung:

  • Hợp của 2 tập hợp: x ∈ A ∪ B ⇔ x ∈ A hoặc x ∈ B
  • Giao của 2 tập hợp: x ∈ A ∩ B ⇔ x ∈ A và x ∈ B
  • Hiệu của 2 tập hợp: x ∈ A ∖ B ⇔ x ∈ A và x ∉ B
  • Phần bù: Khi B ⊂ A thì CAB là phần bù của B trong A

Ví dụ 1: Cho A là tập hợp học sinh lớp 10 đang học ở trường và B là tập hợp các học sinh đang học Tiếng Anh của trường. Hãy diễn đạt bằng lời các tập hợp sau: A ∪ B; A ∩ B; A ∖ B; B ∖ A.

Giải:

  1. A ∪ B: tập hợp các học sinh hoặc học lớp 10 hoặc học môn Tiếng Anh của trường.
  2. A ∩ B: tập hợp học sinh lớp 10 học môn Tiếng Anh của trường.
  3. A ∖ B: tập hợp các học sinh học lớp 10 nhưng không học môn Tiếng Anh của trường.
  4. B ∖ A: tập hợp các học sinh học môn Tiếng Anh của trường nhưng không học lớp 10 của trường.

Ví dụ 2: Cho A={1,2,3,4,5,6,9}, B={1,2,4,6,8,9} và C={3,4,5,6,7}

a) Tìm hai tập hợp (A ∖ B) ∪ (B ∖ A) và (A ∪ B) ∖ (A ∩ B). Hai tập hợp nhận được có bằng nhau hay không?

b) Hãy tìm A ∩ (B ∖ C) và (A ∩ B) ∖ C. Hai tập hợp nhận được có bằng nhau hay không?

Giải:
a) (A ∖ B) ∪ (B ∖ A) = {3,5}; (A ∪ B) ∖ (A ∩ B) = {3,5,8}
Hai tập hợp nhận được không bằng nhau.

b) (B ∖ C) = {1,2,8,9}
A ∩ (B ∖ C) = {1,2,9}
(A ∩ B) ∖ C = {1,2,9}
Hai tập hợp nhận được bằng nhau.

Ví dụ 3: Viết mỗi tập hợp sau bằng cách chỉ ra tính chất đặc trưng cho các phần tử của nó:

a) A={2; 3; 5; 7}: Tập hợp các số nguyên tố nhỏ hơn 10.
b) B={-3; -2; -1; 0; 1; 2; 3}: Tập hợp các số nguyên có giá trị tuyệt đối không vượt quá 3.
c) C={-5; 0; 5; 10; 15}: Tập hợp các số nguyên chia hết cho 5, không nhỏ hơn -5 và không lớn hơn 15.

3. 10 câu hỏi trắc nghiệm các phép toán tập hợp có đáp án

Câu 1: Cho các tập hợp A = {m ∈ N | m là ước của 16}; B = {n ∈ N | n là ước của 24}.
Tập hợp A ∩ B là:
A. ∅
B. {1; 2; 4; 8}
C. {±1; ±2; ±4; ±8}
D. {1; 2; 4; 8; 16}

Giải: Tập hợp A ∩ B là tập hợp các ước số tự nhiên chung của 16 và 24, tức là ước số của ƯCLN(16;24), trong trường hợp này là {1; 2; 4; 8}. Đáp án B là đáp án đúng.

Câu 2: Xác định tập hợp X thỏa mãn hai điều kiện:
X ∪ {1; 2; 3} = {1; 2; 3; 4} và X ∩ {1; 2; 3; a} = {2; 3}.
A. X = {2; 3}
B. X = {1; 2; 3; 4}
C. X = {2; 3; 4}
D. X = {2; 3; 4; a}

Giải: Tập hợp X thỏa mãn điều kiện X ∪ {1; 2; 3} = {1; 2; 3; 4}, nghĩa là X chứa phần tử 4. Đồng thời, X ∩ {1; 2; 3; a} = {2; 3}, nghĩa là X chứa các phần tử 2 và 3 và không chứa phần tử 1 và a. Từ đó, ta có X = {2; 3; 4}. Đáp án C là đáp án đúng.

Câu 3: Cho A = {a, b, c, d, e} và B = {c, d, e, k}. Tập hợp A ∩ B là:
A. {a, b}
B. {c, d, e}
C. {a, b, c, d, e, k}
D. {a, b, k}

Giải: Tập hợp A ∩ B là tập hợp các phần tử chung của A và B, trong trường hợp này là {c, d, e}. Đáp án B là đáp án đúng.

Câu 4: Cho hai tập hợp M = {1; 3; 6; 8} và N = {3; 6; 7; 9}. Tập hợp M ∪ N là:
A. {1, 8}
B. {7, 9}
C. {1, 7, 8, 9}
D. {1, 3, 6, 7, 8, 9}

Giải: Tập hợp M ∪ N là tập hợp các phần tử thuộc M hoặc thuộc N, tức là {1, 3, 6, 7, 8, 9}. Đáp án D là đáp án đúng.

Câu 5: Cho hai tập hợp A = {2; 4; 5; 8} và B = {1; 2; 3; 4}.
Tập hợp A ∩ B bằng tập hợp nào sau đây?
A.
B. {2, 4}
C. {5, 8}
D. {5, 8, 1, 3}

Giải: Tập hợp A ∩ B là tập hợp các phần tử chung của A và B, trong trường hợp này là {2, 4}. Đáp án B là đáp án đúng.

Câu 6: Cho các tập hợp A = {1; 2; 3; 4; 5}, B = {3; 4; 5; 6; 7}.
Tập hợp (A ∖ B) ∪ (B ∖ A) bằng:
A. {1, 2}
B. {6, 7}
C.
D. {1, 2, 6, 7}

Giải: (A ∖ B) ∪ (B ∖ A) = {1, 2} ∪ {6, 7} = {1, 2, 6, 7}. Đáp án D là đáp án đúng.

Câu 7: Cho hai tập hợp A, B thỏa mãn A ⊂ B.
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
A. A ∩ B = A
B. A ∪ B = B
C. A ∖ B =
D. B ∖ A = B

Giải: Mệnh đề A ∖ B = là mệnh đề sai, vì khi A ⊂ B, tức là tất cả các phần tử của A cũng thuộc B, nên A ∖ B = .

Câu 8: Cho các tập hợp A = {2m – 3 | m ∈ Z} , B = {5n | n ∈ Z}.
Tập hợp A ∩ B là:
A. {5(2k-1)| k ∈ Z}
B. {10k| k ∈ Z}
C. {3(2k-1) | k ∈ Z}
D. {3k-3 | k ∈ Z}

Giải: Các phần tử của A, B thuộc A ∩ B khi và chỉ khi giá trị m, n ∈ Z thỏa mãn điều kiện . Vì vậy, ta có A ∩ B = .

Câu 9: Gọi T là tập hợp các học sinh của lớp 10A; N là tập hợp các học sinh nam và G là tập hợp các học sinh nữ của lớp 10A. Xét các mệnh đề sau:
(I) N ∪ G = T
(II) N ∪ T = G
(III) N ∩ G =
(IV) T ∩ G = N
(V) T ∖ N = G
(VI) N ∖ G = N

Trong các mệnh đề trên, có bao nhiêu mệnh đề đúng?
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5

Giải: Trong các mệnh đề trên, có 4 mệnh đề đúng là (I), (III), (V), (VI). Chú ý: Vì N ⊂ T, G ⊂ T nên N ∪ T = T, T ∩ G = G.

Câu 10: Cho hai đa thức P(x) và Q(x). Xét các tập hợp sau:
A. {x ∈ R: P(x)=0}
B. {x ∈ R: Q(x)=0}
C. {x ∈ R: =0}
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A. C= A ∩ B
B. C= A ∪ B
C. C= A B
D. C= B A

Giải: Tập hợp C được xác định bởi điều kiện , tức là tập hợp các nghiệm của phương trình . Không có thông tin để cho biết tập hợp C có tương quan với A và B như thế nào.

Nguồn: https://svvn.com.vn/