[Giải Đáp] Lý thuyết 5 khối đa diện đều – Toán hình 12 nâng cao

Trong bài viết này, chúng ta sẽ tìm hiểu về khái niệm 5 khối đa diện đều trong toán hình 12.

Khối đa diện lồi

Định nghĩa

Khối đa diện lồi là một khối đa diện mà đoạn thẳng nối hai điểm bất kỳ của khối luôn nằm trong khối đó. Một khối đa diện chỉ được gọi là lồi nếu thỏa mãn điều này.

Ví dụ minh họa

khối đa diện lồi và khối đa diện không lồi

Định lý Ơ-le

Trong mỗi khối đa diện lồi, số đỉnh (D), số mặt (M), và số cạnh (C) liên quan với nhau theo quy tắc D – C + M = 2.

Khối đa diện đều

Định nghĩa

Khối đa diện đều {p;q} là một khối đa diện lồi có những đặc điểm sau:

  • Mỗi mặt của khối đa diện là một đa giác đều cạnh p.
  • Mỗi đỉnh của khối đa diện là đỉnh chung của đúng q mặt.

Ví dụ minh họa

khối đa diện đều

Định lý

Trong không gian, chỉ có 5 khối đa diện đều đó là {3;3}, {4,3}, {3,4}, {5,3}, {3,5}.

Dưới đây là bảng tóm tắt chi tiết về 5 loại khối đa diện đều:

bảng tóm tắt 5 loại khối đa diện đều

Nhận xét 1: Khối đa diện đều loại {n;p} có: pD = 2C = nM.

Trong đó: D, C, và M lần lượt là số đỉnh, số cạnh và số mặt của khối đa diện.

Nhận xét 2: Trải phẳng các khối đa diện đều, chúng ta sẽ được hình vẽ như sau:

hình vẽ các khối đa diện đều

Đăng ký ngay khóa học PAS THPT để được các thầy cô xây dựng lộ trình ôn tập toán thi THPT Quốc Gia ngay từ đầu năm học mới.

Sơ đồ tư duy bài khối đa diện lồi, khối đa diện đều

sơ đồ tư duy

Những kết quả cần ghi nhớ

  1. Một khối đa diện bất kỳ phải có ít nhất 4 mặt, 4 đỉnh và 6 cạnh.
  2. Mỗi đỉnh của một khối đa diện bất kỳ phải là đỉnh chung của ít nhất 3 cạnh.
  3. Không có khối đa diện lồi hoặc đều nào có 7 cạnh.
  4. Một đa diện có cạnh đa giác là p. Khi đó, nếu số đỉnh là lẻ thì p phải là số chẵn.
  5. Một khối đa diện bất kỳ luôn phân chia thành các khối tứ diện.
  6. Khối đa diện có mặt là các tam giác thì tổng số mặt luôn là số chẵn.
  7. Không tồn tại khối đa diện có số mặt lớn hơn hoặc bằng số cạnh, số đỉnh lớn hơn hoặc bằng số cạnh.

Nắm trọn kiến thức và phương pháp giải bài tập hình học không gian với bộ tài liệu độc quyền của VUIHOC nhé!

Bài tập vận dụng về khối đa diện lồi, khối đa diện đều

1. Dạng bài nhận biết khối đa diện lồi, khối đa diện đều

a. Phương pháp giải: Để giải được bài tập dạng nhận biết khối đa diện, ta cần nhớ định nghĩa, định lý về khối đa diện lồi, khối đa diện đều và bảng tóm tắt 5 khối đa diện đều trong không gian.

b. Ví dụ:

c. Bài tập vận dụng: Trong các hình dưới đây, hình nào không phải là khối đa diện lồi?

Đáp án: Hình 4 không phải là khối đa diện lồi vì theo định nghĩa, khối đa diện lồi là khối có đoạn thẳng nối hai điểm bất kỳ thuộc khối đa diện đó. Do đó, ở hình 4 không thỏa mãn định nghĩa về khối đa diện lồi vì đoạn MN không thuộc khối đó.

2. Dạng bài các đặc điểm của khối đa diện đều

a. Phương pháp giải: Sử dụng kiến thức được thừa nhận ở phần lý thuyết.

b. Bài tập vận dụng: Hỏi, hình chóp 30 cạnh thì có bao nhiêu mặt?

Đáp án: Hình chóp 30 cạnh có 16 mặt.

Giải thích: Gọi a là số cạnh của đa giác đáy hình chóp. Tổng số cạnh của hình chóp là 2a. Vì vậy, 2a = 30 ⇔ a = 15.

Vậy đa giác đáy có 15 cạnh, do đó số mặt bên của hình chóp là 15. Tuy nhiên, hình chóp có một mặt đáy nên tổng số mặt của hình chóp là 16.

3. Dạng bài xác định mặt phẳng đối xứng

a. Phương pháp giải: Do tính chất đối xứng, ta sẽ đi từ trung điểm của các cạnh để tìm mặt đối xứng. Đảm bảo khi chọn một mặt phẳng đối xứng, các điểm còn lại sẽ được chia đều về hai phía.

b. Bài tập vận dụng: Tìm số mặt phẳng đối xứng của tứ diện đều.

Đáp án: Tứ diện đều có 6 mặt phẳng đối xứng.

Giải thích: Các mặt phẳng đối xứng của tứ diện đều phải chứa một cạnh và đi qua trung điểm của cạnh đối diện.

mặt phẳng đối xứng của tứ diện đều

Để giải quyết hết các dạng bài tập về khối đa diện lồi, khối đa diện đều từ cơ bản đến nâng cao, hãy tham khảo khóa học PAS THPT ngay nhé!

Hy vọng qua bài viết này, các bạn đã nắm được kiến thức về 5 khối đa diện đều cùng phương pháp giải các dạng bài thường gặp. Để học thêm nhiều kiến thức toán học 12 và các môn học khác, hãy truy cập vào trang web của SVVN nhé! Chúc các bạn có một ngày học tập thật nhiều niềm vui và hiệu quả.