Cách chứng minh 3 điểm thẳng hàng lớp 7: Tổng hợp kiến thức và phương pháp

Chứng minh 3 điểm thẳng hàng là một khái niệm quan trọng trong toán học, đặc biệt là lớp 7. Để giúp các bạn hiểu rõ hơn về cách chứng minh điều này, SVVN đã tổng hợp kiến thức, phương pháp cũng như các ví dụ minh họa và bài tập tự luyện.

I. 3 điểm thẳng hàng là gì?

Ba điểm thẳng hàng khi chúng cùng thuộc một đường thẳng. Ngược lại, ba điểm không thẳng hàng khi chúng không cùng thuộc bất kỳ một đường thẳng nào.

II. Quan hệ của 3 điểm thẳng hàng

Khi có 3 điểm thẳng hàng, thì 3 điểm đó phân biệt và cùng nằm trên một đường thẳng. Chỉ có một và chỉ một điểm nằm giữa hai điểm còn lại trong ba điểm thẳng hàng.

III. Các phương pháp chứng minh 3 điểm thẳng hàng

  1. Sử dụng hai góc kề bù có ba điểm cần chứng minh thuộc hai cạnh là hai tia đối nhau.
  2. Ba điểm cần chứng minh thuộc cùng 1 tia hoặc một đường thẳng bất kỳ.
  3. Hai đoạn thẳng đi qua 2 trong 3 điểm cần chứng minh cùng song song với một đường thẳng thứ 3.
  4. Hai đường thẳng cùng đi qua hai trong ba điểm cần chứng minh cùng vuông góc với một đường thẳng thứ 3 nào đó.
  5. Đường thẳng đi qua 2 điểm cũng đi qua điểm thứ 3.
  6. Áp dụng tính chất của đường phân giác của một góc, tính chất đường trung trực của đoạn thẳng hay tính chất ba đường cao trong tam giác.
  7. Áp dụng các tính chất của hình bình hành.
  8. Áp dụng tính chất của góc nội tiếp đường tròn.
  9. Áp dụng tính chất của góc bằng nhau đối đỉnh.
  10. Chứng minh bằng phương pháp phản chứng.
  11. Chứng minh diện tích tam giác của 3 điểm bằng 0.
  12. Áp dụng tính chất sự đồng quy của các đoạn thẳng.

IV. Cách chứng minh 3 điểm thẳng hàng

  1. Phương pháp 1: (Hình 1)
    • Nếu ba điểm A, B, C thẳng hàng.
    • Dựa vào cơ sở lý thuyết: Góc có số đo bằng 180° là góc bẹt.
  2. Phương pháp 2: (Hình 2)
    • Nếu AB // a và AC // a thì ba điểm A, B, C thẳng hàng.
    • Dựa vào cơ sở lý thuyết: Tiên đề Ơ – Clit- tiết 8- hình 7.
  3. Phương pháp 3: (Hình 3)
    • Nếu AB // a ; AC A thì ba điểm A, B, C thẳng hàng.
    • Cơ sở của phương pháp này là: Có một và chỉ một đường thẳng a’ đi qua điểm O và vuông góc với đường thẳng a cho trước.
    • Hoặc chứng minh A, B, C cùng thuộc một đường trung trực của một đoạn thẳng.
  4. Phương pháp 4: (Hình 4)
    • Nếu tia OA và tia OB cùng là tia phân giác của góc xOy thì ba điểm O, A, B thẳng hàng.
    • Cơ sở của phương pháp này là: Mỗi góc có một và chỉ một tia phân giác.
    • Hoặc: Hai tia OA và OB cùng nằm trên nửa mặt phẳng bờ chứa tia ba điểm O, A, B thẳng hàng.
  5. Phương pháp 5:
    • Nếu K là trung điểm BD, K’ là giao điểm của BD và AC. Nếu K’ là trung điểm BD thì K’ ≡ K thì A, K, C thẳng hàng.
    • Cơ sở của phương pháp này là: Mỗi đoạn thẳng chỉ có một trung điểm.

V. Ví dụ chứng minh 3 điểm thẳng hàng

Ví dụ 1:
Cho tam giác ABC. Gọi D, E lần lượt là trung điểm của AB, AC. Trên tia đối của tia DC, lấy điểm M sao cho MD = CD. Trên tia đối của tia EB, lấy điểm N sao cho EN = BE. Chứng minh: A là trung điểm của MN.

Gợi ý đáp án:
Xét ΔBCD và ΔBMD, ta có:
DB = DA (D là trung điểm của AB) ∠D1 = ∠D2 (đối đỉnh).
DC = DM (giả thiết).
=> ΔBCD = ΔBMD (c – g – c).
=> ∠C1 = ∠M và BC = AM.
Mà: ∠C1; ∠M ở vị trí so le trong. => BC // AM.
Chứng minh tương tự, ta được: BC // AN và BC = AN.
Ta có: BC // AM (giả thiết) và BC // AN (giả thiết).
=> A, M, N thẳng hàng (1).
BC = AM và BC = AN => AM = AN (2).
Từ (1) và (2), suy ra: A là trung điểm của MN.

Ví dụ 2:
Cho tam giác ABC vuông tại A. Trên nửa mặt phẳng bờ BC không chứa điểm A. Vẽ các điểm D và E sao cho BD vuông góc và bằng BA, vuông góc và bằng BC. Gọi M là trung điểm của CE. Chứng minh ba điểm A, D, M thẳng hàng.

Gợi ý đáp án:
Kẻ MK ⊥ AB, MH ⊥ AC.
Ta có M là trung điểm của CE.
=> Mặt khác, BM = MC => MK = MH.
=> (cạnh huyền – cạnh góc vuông).
=> => AM là tia phân giác của góc A.
Mặt khác, tam giác BAD vuông cân tại A.
=> => AD là tia phân giác của góc A.
=> A, D, M thẳng hàng (vì cùng thuộc tia phân giác góc A).

VI. Bài tập chứng minh 3 điểm thẳng hàng lớp 7

  1. Phương pháp 1
    Ví dụ 1: Cho tam giác ABC vuông ở A, M là trung điểm AC. Kẻ tia Cx vuông góc CA (tia Cx và điểm B ở hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ AC). Trên tia Cx lấy điểm D sao cho CD = AB. Chứng minh ba điểm B, M, D thẳng hàng.
    Ví dụ 2: Cho tam giác ABC. Trên tia đối của tia AB lấy điểm D mà AD = AB, trên tia đối tia AC lấy điểm E mà AE = AC. Gọi M; N lần lượt là các điểm trên BC và ED sao cho CM = EN. Chứng minh ba điểm M; A; N thẳng hàng.
    Bài 1: Cho tam giác ABC. Trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho AD = AC, trên tia đối của tia AC lấy điểm E sao cho AE = AB. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BE và CD. Chứng minh ba điểm M, A, N thẳng hàng.
    Bài 2: Cho tam giác ABC vuông ở A có . Vẽ tia Cx BC (tia Cx và điểm A ở phía ở cùng phía bờ BC), trên tia Cx lấy điểm E sao cho CE = CA. Trên tia đối của tia BC lấy điểm F sao cho BF = BA. Chứng minh ba điểm E, A, F thẳng hàng.
    Bài 3: Cho tam giác ABC cân tại A, điểm D thuộc cạnh AB. Trên tia đối của tia CA lấy điểm E sao cho CE = BD. Kẻ DH và EK vuông góc với BC (H và K thuộc đường thẳng BC). Gọi M là trung điểm HK. Chứng minh ba điểm D, M, E thẳng hàng.
    Bài 4: Gọi O là trung điểm của đoạn thẳng AB. Trên hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ AB, kẻ hai tia Ax và By sao cho . Trên Ax lấy hai điểm C và E (E nằm giữa A và C), trên By lấy hai điểm D và F ( F nằm giữa B và D) sao cho AC = BD, AE = BF. Chứng minh ba điểm C, O, D thẳng hàng, ba điểm E, O, F thẳng hàng.
    Bài 5. Cho tam giác ABC . Qua A vẽ đường thẳng xy // BC. Từ điểm M trên cạnh BC, vẽ các đường thẳng song song AB và AC, các đường thẳng này cắt xy theo thứ tự tại D và E. Chứng minh các đường thẳng AM, BD, CE cùng đi qua một điểm.
    Bài 6: Cho tam giác ABC có AB < AC kẻ tia phân giác AD của góc BAC. Trên cạnh AC lấy điểm E sao cho AE = AB. Trên tia AB lấy điểm F sao cho AF = AC. Chứng minh rằng:
    a)
    b) Chứng minh ba điểm E, F, D thẳng hàng
    c) Chứng minh AD vuông góc với CF
    Bài 7: Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Vẽ ra phía ngoài tam giác ABC tam giác BCM cân tại M có góc ở đáy bằng 150°. Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa điểm C, vẽ tam giác đều ABN. Chứng minh ba điểm M, N, B thẳng hàng.
    Bài 8: Cho tam giác ABC vuông tại A. Trên nửa mặt phẳng bờ BC không chứa điểm A. Vẽ các điểm D và E sao cho BD vuông góc và bằng BA, vuông góc và bằng BC. Gọi M là trung điểm của CE. Chứng minh ba điểm A, D, M thẳng hàng.
  2. Phương pháp 2
    Ví dụ 1: Cho tam giác ABC. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC, AB. Trên Các đường thẳng BM và CN lần lượt lấy các điểm D và E sao cho M là trung điểm BD và N là trung điểm EC. Chứng minh ba điểm E, A, D thẳng hàng.
    Ví dụ 2: Cho hai đoạn thẳng AC và BD cắt nhau tai trung điểm O của mỗi đoạn. Trên tia AB lấy lấy điểm M sao cho B là trung điểm AM, trên tia AD lấy điểm N sao cho D là trung điểm AN. Chúng minh ba điểm M, C, N thẳng hàng.

Mời các bạn tải file tài liệu để xem thêm nội dung chi tiết.